Precalcolo Esempi

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{1}{3}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Usa la formula della progressione geometrica $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ per trovare il numero di termini, $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci i valori del primo termine, dell'ultimo termine e del rapporto tra i termini nella formula.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 2.2

Risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Passaggio 2.2.2.2

$81$ e $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica ogni lato per $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elimina il fattore comune di $3^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Passaggio 2.2.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

$\frac{1}{81}$ e $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Passaggio 2.2.5

Risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Passaggio 2.2.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Passaggio 2.2.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.2.1

Moltiplica $81$ per $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Passaggio 2.2.5.4

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Passaggio 2.2.5.5

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$n - 1 = 8$

Passaggio 2.2.5.6

Sposta tutti i termini non contenenti $n$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.6.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$n = 8 + 1$

Passaggio 2.2.5.6.2

Somma $8$ e $1$ .

$n = 9$

Passaggio 3

Usa la formula della somma di una progressione geometrica $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ per trovare la somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori del primo termine, del rapporto e il numero di termini nella formula della somma.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.5

$- 1$ e $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.7.2

Sottrai $19683$ da $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.9

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.9.2

$81$ e $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.9.3

Moltiplica $81$ per $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10

Elimina il fattore comune di $1594242$ e $19683$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.10.1

Scomponi $81$ da $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.10.2.1

Scomponi $81$ da $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.1.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 3.2.2.4.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 3.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3.2.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Scomponi $2$ da $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 3.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 3.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Passaggio 3.2.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Scomponi $3$ da $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Passaggio 3.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Passaggio 3.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$