Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ come un'equazione.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 9$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 9$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 9$

Passaggio 3.2.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{\frac{1}{3}} = 9 + x$

Passaggio 3.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(9 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(9 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Semplifica.

$y = {(9 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(9 + x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y = 9^{3} + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$y = 729 + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$y = 729 + 3 \cdot 81 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $81$ .

$y = 729 + 243 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.4

Moltiplica $3$ per $9$ .

$y = 729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.5

Semplifica $729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $729$ .

$y = 243 x + 27 x^{2} + x^{3} + 729$

Passaggio 3.5.2

Sposta $243 x$ .

$y = 27 x^{2} + x^{3} + 243 x + 729$

Passaggio 3.5.3

Riordina $27 x^{2}$ e $x^{3}$ .

$y = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ è l'inverso di $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Usa il teorema binomiale.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.2

Semplifica.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.4

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.5

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 81 + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.6

Moltiplica $81$ per $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.2.7

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi ${(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2}$ come $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 ((x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.4

Espandi $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 9) - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.5.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.5.1.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.5.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.5.2

Sottrai $9 x^{\frac{1}{3}}$ da $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 18 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} + 27 (- 18 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.7.1

Moltiplica $- 18$ per $27$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.7.2

Moltiplica $27$ per $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Passaggio 5.2.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 \cdot - 9 + 729$

Passaggio 5.2.3.9

Moltiplica $243$ per $- 9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Combina i termini opposti in $x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Somma $- 27 x^{\frac{2}{3}}$ e $27 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 0 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Passaggio 5.2.4.1.3

Sottrai $2187$ da $2187$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 729$

Passaggio 5.2.4.1.4

Somma $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 729$

Passaggio 5.2.4.1.5

Somma $- 729$ e $729$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Passaggio 5.2.4.1.6

Somma $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $486 x^{\frac{1}{3}}$ da $243 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Somma $- 243 x^{\frac{1}{3}}$ e $243 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729) = {(x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)}^{\frac{1}{3}} - 9$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ è l'inverso di $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$