Precalcolo Esempi

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 3}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(1 - x)}^{3}$ .

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di ${(1 - x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $6 x^{2} - 8 x + 3$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(1 - x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{A {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(1 - x)}^{3}$ e ${(1 - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Scomponi ${(1 - x)}^{2}$ da $(B) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{B (1 - x)}{1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.2.2.4

Dividi $B (1 - x)$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B (1 - x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B \cdot 1 + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica $B$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Passaggio 1.6.6

Elimina il fattore comune di ${(1 - x)}^{3}$ e $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Scomponi $1 - x$ da $(C) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{1 - x}$

Passaggio 1.6.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.2.1

Moltiplica per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{C {(1 - x)}^{2}}{1}$

Passaggio 1.6.6.2.4

Dividi $C {(1 - x)}^{2}$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C {(1 - x)}^{2}$

Passaggio 1.6.7

Riscrivi ${(1 - x)}^{2}$ come $(1 - x) (1 - x)$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C ((1 - x) (1 - x))$

Passaggio 1.6.8

Espandi $(1 - x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 (1 - x) - x (1 - x))$

Passaggio 1.6.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x))$

Passaggio 1.6.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Passaggio 1.6.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.9.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Passaggio 1.6.9.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x \cdot 1 - x (- x))$

Passaggio 1.6.9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - x (- x))$

Passaggio 1.6.9.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

Passaggio 1.6.9.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.9.1.5.1

Sposta $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

Passaggio 1.6.9.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

Passaggio 1.6.9.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + 1 x^{2})$

Passaggio 1.6.9.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + x^{2})$

Passaggio 1.6.9.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - 2 x + x^{2})$

Passaggio 1.6.10

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C \cdot 1 + C (- 2 x) + C x^{2}$

Passaggio 1.6.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.11.1

Moltiplica $C$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C + C (- 2 x) + C x^{2}$

Passaggio 1.6.11.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C - 2 C x + C x^{2}$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B + C - 2 C x + C x^{2}$

Passaggio 1.7.2

Sposta $C$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B - 2 C x + C x^{2} + C$

Passaggio 1.7.3

Sposta $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A - x B - 2 C x + C x^{2} + B + C$

Passaggio 1.7.4

Sposta $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B - 2 C x + C x^{2} + A + B + C$

Passaggio 1.7.5

Sposta $- 2 C x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B + C x^{2} - 2 C x + A + B + C$

Passaggio 1.7.6

Riordina $- x B$ e $C x^{2}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = C x^{2} - x B - 2 C x + A + B + C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 8 = - 1 B - 2 C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = A + B + C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 6$ .

$C = 6$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $6$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $- 8 = - 1 B - 2 C$ con $6$ .

$- 8 = - 1 B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$- 8 = - B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $3 = A + B + C$ con $6$ .

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $- 8 = - B - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- B - 12 = - 8$ .

$- B - 12 = - 8$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- B = - 8 + 12$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 8$ e $12$ .

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 4$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $4$ per $- 1$ .

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $3 = A + B + 6$ con $- 4$ .

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $3 = A - 4 + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Somma $- 4$ e $6$ .

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Passaggio 3.5

Risolvi per $A$ in $3 = A + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 = 3$ .

$A + 2 = 3$

$B = - 4$

$C = 6$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 3 - 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

Passaggio 3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 1 B = - 4 C = 6$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = - 4, C = 6$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{- 4}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{6}{1 - x}$