Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x + 10} + \sqrt{x^{2} + 6 x - 7}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + 6 x - 7}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 6 x - 7 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} + 6 x - 7 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2} + 6 x - 7$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $6$ .

$- 1, 7$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 1) (x + 7) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 7) = 0$ vera.

$x = 1, - 7$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 7$

$- 7 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

${(- 10)}^{2} + 6 (- 10) - 7 \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $33$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 7 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 7 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} + 6 (0) - 7 \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 7$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{2} + 6 (4) - 7 \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $33$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 7$ o $x \geq 1$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{x}{x + 10}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 10 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 10$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, - 7] \cup [1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 7, x \geq 1, x \neq - 10}$

Passaggio 6