Precalcolo Esempi

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 101$

Passaggio 1

Questa è una progressione aritmetica poiché c'è una differenza costante tra ogni termine. In questo caso, sommando $2$ al termine precedente nella progressione si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Progressione aritmetica: $d = 2$

Passaggio 2

Usa la formula della progressione aritmetica $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ per trovare il numero di termini, $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci i valori del primo termine, dell'ultimo termine e della differenza tra i termini nella formula.

$101 = 1 + 2 (n - 1)$

Passaggio 2.2

Risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $1 + 2 (n - 1) = 101$ .

$1 + 2 (n - 1) = 101$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $1 + 2 (n - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + 2 n + 2 \cdot - 1 = 101$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 + 2 n - 2 = 101$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 n - 1 = 101$

Passaggio 2.2.3

Sposta tutti i termini non contenenti $n$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 n = 101 + 1$

Passaggio 2.2.3.2

Somma $101$ e $1$ .

$2 n = 102$

Passaggio 2.2.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 n = 102$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 n = 102$ .

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Passaggio 2.2.4.2.1.2

Dividi $n$ per $1$ .

$n = \frac{102}{2}$

Passaggio 2.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

Dividi $102$ per $2$ .

$n = 51$

Passaggio 3

Usa la formula della somma di una progressione aritmetica $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ per trovare la somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori del primo termine, dell'ultimo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$S_{n} = \frac{51}{2} (1 + 101)$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ e $101$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot 102$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $2$ da $102$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 (51))$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 \cdot 51)$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{n} = 51 \cdot 51$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $51$ per $51$ .

$S_{n} = 2601$