Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5 x - 12}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 12}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x^{2} + 5 x - 12 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + 5 x - 12 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ e la cui somma è $b = 5$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$2 x^{2} + 5 (x) - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $5$ come $- 3$ più $8$ .

$2 x^{2} + (- 3 + 8) x - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 8 x - 12 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} - 3 x) + 8 x - 12 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 3) (x + 4) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{2}, - 4$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 12 \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $30$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12 \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 12$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(4)}^{2} + 5 (4) - 12 \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $40$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Vero

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 4$ o $x \geq \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 4, x \geq \frac{3}{2}}$

Passaggio 4