Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ come un'equazione.

$y = \sqrt[3]{x} + 5$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt[3]{y} + 5$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{y} + 5 = x$ .

$\sqrt[3]{y} + 5 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt[3]{y} = x - 5$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{y}$ come $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(x - 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y = {(x - 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 5)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Moltiplica $25$ per $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Usa il teorema binomiale.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.1.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.2

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 25 + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.5

Moltiplica $25$ per $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.2.6

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi ${(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2}$ come $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ((\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.4

Espandi $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 5) + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1

Moltiplica $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1.1

Eleva $\sqrt[3]{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5.1.1.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5.1.2

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \cdot \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5.1.4

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.5.2

Somma $5 \sqrt[3]{x}$ e $5 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 (10 \sqrt[3]{x}) - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.7.1

Moltiplica $10$ per $- 15$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.7.2

Moltiplica $- 15$ per $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Passaggio 5.2.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot 5 - 125$

Passaggio 5.2.3.9

Moltiplica $75$ per $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Combina i termini opposti in $x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Sottrai $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ da $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0 + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Passaggio 5.2.4.1.3

Somma $- 375$ e $375$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 0 + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Passaggio 5.2.4.1.4

Somma $x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Passaggio 5.2.4.1.5

Sottrai $125$ da $125$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 0 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 5.2.4.1.6

Somma $x + 75 \sqrt[3]{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $150 \sqrt[3]{x}$ da $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 5.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Somma $- 75 \sqrt[3]{x}$ e $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Passaggio 5.3.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Rendi ogni termine uguale ai termini dalla formula del teorema binomiale.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (5 x^{2}) + 3 \cdot (5^{2} x) - 1 \cdot 5^{3}} + 5$

Passaggio 5.3.4.2

Fattorizza $x^{3} - 3 \cdot 5 x^{2} + 3 \cdot 5^{2} x - 1 \cdot 5^{3}$ usando il teorema dei binomi.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Passaggio 5.3.4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x - 5 + 5$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 5 + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$