Precalcolo Esempi

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $889$ a entrambi i lati dell'equazione.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $11 x^{2} + 22 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $22$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{11}{11}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{11}{11}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $22$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $484$ per $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$e = 0 - 11$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $11$ da $0$ .

$e = - 11$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Passaggio 1.3

Sostituisci $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ a $11 x^{2} + 22 x$ nell'equazione $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Passaggio 1.4

Sposta $- 11$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $11$ a entrambi i lati.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 25 y^{2} + 250 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $250$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{125}{- 25}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $125$ e $- 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Passaggio 1.5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$d = - 5$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $250$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $62500$ per $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $625$ .

$e = 625$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ a $- 25 y^{2} + 250 y$ nell'equazione $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Passaggio 1.7

Sposta $625$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $625$ a entrambi i lati.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Passaggio 1.8

Semplifica $889 + 11 - 625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $889$ e $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $625$ da $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Passaggio 1.9

Dividi per $275$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(- 1, 5)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{11}}^{2}$ come $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{11}$ come $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{25 + 11}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $25$ e $11$ .

$\sqrt{36}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$6$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, 5)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 6, 5)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(5, 5)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 7, 5)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(5, 5), (- 7, 5)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi ${\sqrt{11}}^{2}$ come $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{11}$ come $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Passaggio 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

Passaggio 8.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

Passaggio 8.3.3

Somma $25$ e $11$ .

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{6}{5}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

Passaggio 9.3

Riscrivi ${\sqrt{11}}^{2}$ come $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{11}$ come $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Passaggio 9.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Passaggio 9.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 9.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11^{1}}{6}$

Passaggio 9.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{11}{6}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Passaggio 11.2.3

$\frac{\sqrt{11}}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{11}}{5}$ per $1$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Passaggio 12.2.3

$x$ e $\frac{\sqrt{11}}{5}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 1, 5)$

Vertici: $(4, 5), (- 6, 5)$

Fuochi: $(5, 5), (- 7, 5)$

Eccentricità: $\frac{6}{5}$

Asse focale: $\frac{11}{6}$

Asintoti: $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Passaggio 15