Precalcolo Esempi

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y + 144 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $144$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $576$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$e = 0 - 36$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$e = - 36$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $4 {(x - 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(x - 3)}^{2} - 36$

Passaggio 1.3

Sostituisci $4 {(x - 3)}^{2} - 36$ a $4 x^{2} - 24 x$ nell'equazione $4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} - 36 + 9 y^{2} + 72 y = - 144$

Passaggio 1.4

Sposta $- 36$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $36$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 y^{2} + 72 y = - 144 + 36$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $9 y^{2} + 72 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 72$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{72}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $72$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $72$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 (9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{36}{9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $36$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$d = 4$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{72^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $72$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $5184$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $144$ .

$e = 0 - 144$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $144$ da $0$ .

$e = - 144$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(y + 4)}^{2} - 144$

Passaggio 1.6

Sostituisci $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ a $9 y^{2} + 72 y$ nell'equazione $4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} - 144 = - 144 + 36$

Passaggio 1.7

Sposta $- 144$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $144$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = - 144 + 36 + 144$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 144 + 36 + 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 144$ e $36$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = - 108 + 144$

Passaggio 1.8.2

Somma $- 108$ e $144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = 36$

Passaggio 1.9

Dividi per $36$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(x - 3)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 4)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 4$

$h = 3$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(3, - 4)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sqrt{9 - 4}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $4$ da $9$ .

$\sqrt{5}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3 + 3, - 4)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(6, - 4)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3 - (3), - 4)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 4)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3 + \sqrt{5}, - 4)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3 - (\sqrt{5}), - 4)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

Passaggio 8.3.4

Sottrai $4$ da $9$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(3, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 10