Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$ è indefinita.

$x = - 1$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2} + 69 x + 168$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $3$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 69 x + 168}{x + 1}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $3$ da $69 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 168}{x + 1}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $3$ da $168$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Passaggio 5.1.1.4

Scomponi $3$ da $3 (2 x^{2}) + 3 (23 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Passaggio 5.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x + 56)}{x + 1}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 56 = 112$ e la cui somma è $b = 23$ .

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Passaggio 5.1.2.1.1

Scomponi $23$ da $23 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 (x) + 56)}{x + 1}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi $23$ come $7$ più $16$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + (7 + 16) x + 56)}{x + 1}$

Passaggio 5.1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2} + 7 x + 16 x + 56)}{x + 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 7 x) + 16 x + 56)}{x + 1}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{3 (x (2 x + 7) + 8 (2 x + 7))}{x + 1}$

Passaggio 5.1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 7$ .

$\frac{3 ((2 x + 7) (x + 8))}{x + 1}$

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Passaggio 5.2

Espandi $3 (2 x + 7) (x + 8)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 (2 x) + 3 \cdot 7) (x + 8)}{x + 1}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) (x + 8) + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.7

Sposta $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.13

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.14

Moltiplica $6$ per $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.15

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.16

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 21 \cdot 8}{x + 1}$

Passaggio 5.2.17

Moltiplica $21$ per $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 168}{x + 1}$

Passaggio 5.2.18

Somma $48 x$ e $21 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 69 x + 168}{x + 1}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$6 x^{2}$

$69 x$

$168$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$6 x$
	$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} + 6 x$

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $63 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					+	$63 x$	+	$63$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $63 x + 63$

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$
							+	$105$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$6 x + 63 + \frac{105}{x + 1}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 6 x + 63$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 6 x + 63$

Passaggio 7