Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$ è indefinita.

$x = - 1$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 x + 3}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 x + 3}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 x + 3}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $3$ da $3 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3}$

Passaggio 5.1.2.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3 (1)}$

Passaggio 5.1.2.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 5.2

Espandi $x (x + 2)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 (x + 1)}$

Passaggio 5.2.2

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 5.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 5.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 5.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 5.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 5.3

Espandi $3 (x + 1)$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Passaggio 5.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Passaggio 5.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Passaggio 5.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 5.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Passaggio 5.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Passaggio 5.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Passaggio 5.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Passaggio 5.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Passaggio 5.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$
							-	$1$

Passaggio 5.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 x + 3}$

Passaggio 5.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 7