Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x - 1}{x - 2} + \sqrt{6 x - x^{2} - 5}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{6 x - x^{2} - 5}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$6 x - x^{2} - 5 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$6 x - x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 1$ da $6 x - x^{2} - 5$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Riordina $6 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 6 x - 5 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $6 x$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 5 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$- (x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 6 x) - 1 (5)$ .

$- (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 5, - 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 5) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 5) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 5, 1$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$6 (0) - {(0)}^{2} - 5 \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $- 5$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$6 (3) - {(3)}^{2} - 5 \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $4$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$6 (8) - {(8)}^{2} - 5 \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $- 21$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$1 \leq x \leq 5$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{4 x - 1}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[1, 2) \cup (2, 5]$

Notazione intensiva:

${x | 1 \leq x \leq 5, x \neq 2}$

Passaggio 6