Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$ è indefinita.

$x = - 2, x = 4$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da destra, allora $x = - 2$ è un asintoto verticale.

$x = - 2$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 6 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 6.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 6 x + 8)}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi $x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 6.1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x ((x - 4) (x - 2))}{x^{2} - 2 x - 8}$

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 6.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x + 2)}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x + 2)}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x - 2)}{x + 2}$

Passaggio 6.2

Espandi $x (x - 2)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{x + 2}$

Passaggio 6.2.2

Riordina $x$ e $- 2$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{x + 2}$

Passaggio 6.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{x + 2}$

Passaggio 6.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{x + 2}$

Passaggio 6.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x}{x + 2}$

Passaggio 6.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{x + 2}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					-	$4 x$	-	$8$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x - 8$

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	+	$8$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$8$

Passaggio 6.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - 4 + \frac{8}{x + 2}$

Passaggio 6.14

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$x - 4 + \frac{8 x - 32}{x^{2} - 2 x - 8}$

Passaggio 6.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x - 4$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x - 4$

Passaggio 8