Precalcolo Esempi

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{4}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{4}}$ come un'equazione.

$y = {(x + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(y + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come ${(y + 4)}^{\frac{1}{4}} = x$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{4}} = x$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $4$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(y + 4)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${({(y + 4)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 4)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 4)}^{1} = x^{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica.

$y + 4 = x^{4}$

Passaggio 3.4

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{4} - 4$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 4$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{4} - 4$ è l'inverso di $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{4}})}^{4} - 4$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} - 4$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} - 4$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}}) = (x + 4) - 4$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica.

$f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}}) = x + 4 - 4$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 4 - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 4)}^{\frac{1}{4}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{4} - 4)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{4} - 4) = {((x^{4} - 4) + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $(x^{4} - 4) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f (x^{4} - 4) = {(x^{4} + 0)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$f (x^{4} - 4) = {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{4} - 4) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x^{4} - 4) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x^{4} - 4) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{4} - 4$ è l'inverso di $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 4$