Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$ è indefinita.

$x = 1$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Espandi ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{3}}{(x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3}}{x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.5

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}$

Passaggio 5.2.11

Sottrai $1 x$ da $- 1 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - 4 x + 2$

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 2 + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x + 2$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x + 2$

Passaggio 7