Precalcolo Esempi

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 1$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(1, 1)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{12 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sqrt{12 - 4}$

Passaggio 5.3.3.4

Sottrai $4$ da $12$ .

$\sqrt{8}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Passaggio 6.6

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(1, 1 - (2 \sqrt{2}))$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{12 - 4}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.7

Sottrai $4$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.8

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 8.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 8.3.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 10