Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - 9 x + 18}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 9 x + 18}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 9 x + 18 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2} - 9 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 6, - 3$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 6, 3$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18 \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $18$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18 \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18 \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $10$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 3$ Vero

$3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

$x < 3$ Vero

$3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 3$ o $x \geq 6$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - 9 x + 18}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x^{2} - 9 x + 18} = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x^{2} - 9 x + 18}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 9 x + 18}$ come ${(x^{2} - 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 9 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 9 x + 18)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $x^{2} - 9 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 6, - 3$

Passaggio 4.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Passaggio 4.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.3

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4.3.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 6, 3$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 3) \cup (6, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x < 3, x > 6}$

Passaggio 6