Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

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Passaggio 6.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2

Espandi $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.7

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.8

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.9

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $- 1$ per $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.13

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.14

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.19

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.20

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.21

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.22

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.23

Sposta $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.24

Sposta $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.25

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.26

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.27

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.2.28

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

+

$x^{3}$

+

$0$

+

$2 x$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 + 2 x$

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

-

$2 x$

Passaggio 6.8

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

-

$2 x$

+

$1$

Passaggio 6.9

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + \frac{- 2 x + 1}{x^{2} + 2}$

Passaggio 6.10

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x$

$y = x$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x$

Passaggio 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$