Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ è indefinita.

$x = - \frac{4}{3}, x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ da sinistra e $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ da destra, allora $x = - \frac{4}{3}$ è un asintoto verticale.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ da sinistra e $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ da destra, allora $x = \frac{1}{2}$ è un asintoto verticale.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e la cui somma è $b = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 (x) - 4}$

Passaggio 8.1.1.2

Riscrivi $5$ come $- 3$ più $8$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + (- 3 + 8) x - 4}$

Passaggio 8.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4}$

Passaggio 8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(6 x^{2} - 3 x) + 8 x - 4}$

Passaggio 8.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{3 x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Passaggio 8.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(2 x - 1) (3 x + 4)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(2 x - 1) (3 x + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x + 4) - 1 (3 x + 4)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x + 4)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x \cdot (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.5

Sposta $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.6

Sposta $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.13

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.14

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.15

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4}$

Passaggio 8.2.16

Sottrai $3 x$ da $8 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{5} + 5 x^{4} - 4 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Passaggio 8.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{4} - \frac{25 x^{3}}{6} + \frac{10 x^{2}}{3}$

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

Passaggio 8.13

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Passaggio 8.14

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $\frac{49 x^{3}}{6}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Passaggio 8.15

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Passaggio 8.16

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $\frac{49 x^{3}}{6} + \frac{245 x^{2}}{36} - \frac{49 x}{9}$

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Passaggio 8.17

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Passaggio 8.18

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Passaggio 8.19

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{509 x^{2}}{36}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Passaggio 8.20

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Passaggio 8.21

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{509 x^{2}}{36} - \frac{2545 x}{216} + \frac{509}{54}$

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Passaggio 8.22

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

$\frac{3721 x}{216}$

$\frac{239}{54}$

Passaggio 8.23

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216} + \frac{\frac{3721 x}{216} - \frac{239}{54}}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Passaggio 8.24

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Passaggio 10