Precalcolo Esempi

$\frac{5 x^{2} - 4}{x^{2} (x + 2)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 2}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x + 2)$ .

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x^{2} (x + 2))}{x^{2} (x + 2)} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x^{2} (x + 2))}{x^{2} (x + 2)} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x^{2} - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $5 x^{2} - 4$ per $1$ .

$5 x^{2} - 4 = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} - 4 = \frac{A (x^{2} (x + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A (x + 2)$ per $1$ .

$5 x^{2} - 4 = A (x + 2) + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - 4 = A x + A \cdot 2 + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 2))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x + 2))$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{x (B (x (x + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + \frac{B (x (x + 2))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.4.2.5

Dividi $B (x (x + 2))$ per $1$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x (x + 2)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.10

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.10.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x^{2} (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.5.10.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x^{2})$

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2}$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $B$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2}$

Passaggio 1.6.2

Sposta $2 A$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} + 2 A$

Passaggio 1.6.3

Sposta $2 x B$ .

$5 x^{2} - 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B + 2 A$

Passaggio 1.6.4

Sposta $A x$ .

$5 x^{2} - 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B + 2 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + 2 B$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 4 = 2 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$- 4 = 2 A$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$- 4 = 2 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $- 4 = 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 A = - 4$ .

$2 A = - 4$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = - 4$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = \frac{- 4}{2}$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $- 4$ per $2$ .

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = A + 2 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + 2 B$ con $- 2$ .

$0 = (- 2) + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 2 + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = - 2 + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$0 = - 2 + 2 B$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 2 + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 + 2 B = 0$ .

$- 2 + 2 B = 0$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = 2$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = \frac{2}{2}$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = B + C$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $5 = B + C$ con $1$ .

$5 = (1) + C$

$B = 1$

$A = - 2$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$5 = 1 + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = 1 + C$

$B = 1$

$A = - 2$

$5 = 1 + C$

$B = 1$

$A = - 2$

Passaggio 3.5

Risolvi per $C$ in $5 = 1 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $1 + C = 5$ .

$1 + C = 5$

$B = 1$

$A = - 2$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 5 - 1$

$B = 1$

$A = - 2$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$C = 4$

$B = 1$

$A = - 2$

$C = 4$

$B = 1$

$A = - 2$

$C = 4$

$B = 1$

$A = - 2$

Passaggio 3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = 4 B = 1 A = - 2$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 4, B = 1, A = - 2$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{4}{x + 2}$