Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$ è indefinita.

$x = 2$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{- 4 x + 8}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{- 4 x + 8}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{- 4 x + 8}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 x + 8$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 8}$

Passaggio 5.1.2.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 4 (2)}$

Passaggio 5.1.2.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x + 2)}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) + 2)}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) - 1 (- 2))}$

Passaggio 5.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x - 2))}$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.1.6.1

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- 1 (x - 2))}$

Passaggio 5.1.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2

Espandi $- x (x + 2)$ .

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Passaggio 5.2.1

Nega $x$ .

$\frac{- x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 2}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.3

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.4

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 (x - 2)}$

Passaggio 5.3

Espandi $4 (x - 2)$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x + 4 \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x - 8}$

Passaggio 5.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Passaggio 5.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$

Passaggio 5.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + 2 x$

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

Passaggio 5.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Passaggio 5.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Passaggio 5.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					-	$4 x$	+	$8$

Passaggio 5.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x + 8$

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 5.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$
							-	$8$

Passaggio 5.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{x}{4} - 1 - \frac{8}{4 x - 8}$

Passaggio 5.15

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$- \frac{x}{4} - 1 + \frac{8}{- 4 x + 8}$

Passaggio 5.16

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - \frac{x}{4} - 1$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - \frac{x}{4} - 1$

Passaggio 7