Precalcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 8 x^{5}$ come un'equazione.

$y = 8 x^{5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 8 y^{5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $8 y^{5} = x$ .

$8 y^{5} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{5} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{5} = x$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $y^{5}$ per $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ come $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Passaggio 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[5]{8}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Passaggio 3.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Passaggio 3.4.3.4

Somma $1$ e $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Passaggio 3.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ come $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{8}$ come $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Passaggio 3.4.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 3.4.3.5.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Passaggio 3.4.3.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ come $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Passaggio 3.4.4.3

Riscrivi $4096$ come $4^{5} \cdot 4$ .

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Passaggio 3.4.4.3.1

Scomponi $1024$ da $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Riscrivi $1024$ come $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Passaggio 3.4.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Passaggio 3.4.4.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

Passaggio 3.4.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.5.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

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Passaggio 3.4.5.1.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

Passaggio 3.4.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

Passaggio 3.4.5.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{5}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (8 x^{5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $32 x^{5}$ come ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

Passaggio 5.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ come $4 x$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{4 x}$ come ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Passaggio 5.3.4.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Passaggio 5.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $8$ da $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.3.7.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$