Precalcolo Esempi

$\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ è indefinita.

$x = - 2, x = 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da sinistra e $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da destra, allora $x = - 2$ è un asintoto verticale.

$x = - 2$

Passaggio 3

Poiché $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $\frac{(x + 1) (x - 2) (x + 3)}{(x - 1) (x + 2)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 2, 1$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{(x - 1) (x + 2)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(x - 1) (x + 2)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x (x + 2) - 1 (x + 2)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.4

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x \cdot x + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{1 + 1} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + 2 x - 1 x - 2}$

Passaggio 8.2.10

Sottrai $1 x$ da $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} + x - 2}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2} - 2 x$

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Passaggio 8.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

						$x$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$6$

$x^{2}$

$x$

$2$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x - 2$

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
							-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
					-	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
							-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
									-	$4 x$	-	$4$

Passaggio 8.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 1 + \frac{- 4 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

Passaggio 8.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x + 1$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 2, 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x + 1$

Passaggio 10