Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 9 x$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 9 (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 9 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 9 x - 9 h$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 9 x - 9 h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 9 x - 9 h$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 9 x - 9 h$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 9 x - 9 h$

Passaggio 2.2.3

Sposta $- 9 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 9 h - 9 x$

Passaggio 2.2.4

Sposta $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 9 h - 9 x$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 9 h - 9 x$

Passaggio 2.2.6

Riordina $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 9 h - 9 x$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 9 h - 9 x$

$f (x) = x^{3} - 9 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 9 h - 9 x$

$f (x) = x^{3} - 9 x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 9 h - 9 x - (x^{3} - 9 x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 9 h - 9 x - x^{3} - (- 9 x)}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 9 h - 9 x - x^{3} + 9 x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 9 h - 9 x + 0 + 9 x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $h^{3}$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 9 h - 9 x + 9 x}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $- 9 x$ e $9 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 9 h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 9 h$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 9 h}{h}$

Passaggio 4.1.7

Scomponi $h$ da $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 9 h$ .

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Passaggio 4.1.7.1

Scomponi $h$ da $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 9 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.2

Scomponi $h$ da $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 9 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.3

Scomponi $h$ da $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 9 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.4

Scomponi $h$ da $- 9 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 9}{h}$

Passaggio 4.1.7.5

Scomponi $h$ da $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 9}{h}$

Passaggio 4.1.7.6

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 9}{h}$

Passaggio 4.1.7.7

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 9$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 9)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 9)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 9$ per $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 9$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 9$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 9$

Passaggio 4.2.2.3

Riordina $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 9$

Passaggio 5