Precalcolo Esempi

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ è indefinita.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ da sinistra e $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ da destra, allora $x = - \sqrt{3}$ è un asintoto verticale.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ da sinistra e $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ da destra, allora $x = \sqrt{3}$ è un asintoto verticale.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

Passaggio 8.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

Passaggio 8.1.4

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 8.1.4.1

Riscrivi $- (x^{2} - 3)$ come $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

Passaggio 8.1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2

Espandi $- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ .

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Passaggio 8.2.1

Nega $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 8.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} + 0 + 12$

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

Passaggio 8.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

Passaggio 8.14

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

Passaggio 8.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - 2 x - 4$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - 2 x - 4$

Passaggio 10