Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \div \frac{3 k^{2}}{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 12 \cdot - 2 = - 24$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 k$ .

$\frac{12 k^{2} - 5 (k) - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 5$ come $3$ più $- 8$ .

$\frac{12 k^{2} + (3 - 8) k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 k^{2} + 3 k - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(12 k^{2} + 3 k) - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{3 k (4 k + 1) - 2 (4 k + 1)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 3

Scomponi $k$ da $k^{2} + 9 k$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $k$ da $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 3.2

Scomponi $k$ da $9 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + k \cdot 9} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi $k$ da $k \cdot k + k \cdot 9$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Scomponi $k$ da $k^{3} + 7 k^{2} - 18 k$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $k$ da $k^{3}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $k$ da $7 k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) - 18 k}{3 k^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $k$ da $- 18 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $k$ da $k \cdot k^{2} + k (7 k)$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Scomponi $k$ da $k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k - 18)}{3 k^{2}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $k^{2} + 7 k - 18$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $7$ .

$- 2, 9$

Passaggio 4.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k ((k - 2) (k + 9))}{3 k^{2}}$

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k - 2) (k + 9)}{3 k^{2}}$

Passaggio 5

Combina.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k (k + 9) (3 k^{2})}$

Passaggio 6

Moltiplica $k$ per $k^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k (k + 9) \cdot 3}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ .

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Passaggio 6.2.1

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k^{1} (k + 9) \cdot 3}$

Passaggio 6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2 + 1} (k + 9) \cdot 3}$

Passaggio 6.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $k$ e $k^{3}$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $k$ da $(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))$ .

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Passaggio 7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $k$ da $k^{3} (k + 9) \cdot 3$ .

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{(k^{2} (k + 9)) \cdot 3}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $k + 9$ .

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{k^{2} (k + 9) \cdot 3}$

Passaggio 8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{(k^{2}) \cdot 3}$

Passaggio 9

Sposta $3$ alla sinistra di $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 10

Espandi $(4 k + 1) (3 k - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 k (3 k - 2) + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(4 \cdot 3 k \cdot k + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.1.2.1

Sposta $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 (k \cdot k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11.1.2.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{(12 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11.1.5

Moltiplica $3 k$ per $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11.1.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 11.2

Somma $- 8 k$ e $3 k$ .

$\frac{(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Passaggio 12

Espandi $(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{12 k^{2} k + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.1.1

Sposta $k$ .

$\frac{12 (k \cdot k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $k$ per $k^{2}$ .

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Passaggio 13.1.2.1

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (k^{1} k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 k^{1 + 2} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{12 k^{3} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.3

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.3.1

Sposta $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 (k \cdot k) - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Passaggio 14

Sottrai $5 k^{2}$ da $- 24 k^{2}$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Passaggio 15

Sottrai $2 k$ da $10 k$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$

Passaggio 16

Dividi la frazione $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 17

Dividi la frazione $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 18

Dividi la frazione $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{12 k^{3}}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 19

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

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Passaggio 19.1

Scomponi $3$ da $12 k^{3}$ .

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 19.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 19.2.1

Scomponi $3$ da $3 k^{2}$ .

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 (k^{2})} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 19.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 19.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 k^{3}}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 20

Elimina il fattore comune di $k^{3}$ e $k^{2}$ .

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Passaggio 20.1

Scomponi $k^{2}$ da $4 k^{3}$ .

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 20.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 20.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 20.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 k}{1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 20.2.4

Dividi $4 k$ per $1$ .

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 21

Elimina il fattore comune di $k^{2}$ .

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Passaggio 21.1

Elimina il fattore comune.

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 21.2

Riscrivi l'espressione.

$4 k + \frac{- 29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 23

Elimina il fattore comune di $k$ e $k^{2}$ .

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Passaggio 23.1

Scomponi $k$ da $8 k$ .

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Scomponi $k$ da $3 k^{2}$ .

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 23.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Passaggio 23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8}{3 k} + \frac{4}{3 k^{2}}$