Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \div \frac{- 9 f - 27}{f^{2} - 12 f + 36}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{f^{2} - 3^{2}}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = f$ e $b = 3$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Passaggio 3

Scomponi $f^{2}$ da $- f^{3} + 6 f^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $f^{2}$ da $- f^{3}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Passaggio 3.2

Scomponi $f^{2}$ da $6 f^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Passaggio 3.3

Scomponi $f^{2}$ da $f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Passaggio 4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Passaggio 4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$12 f = 2 \cdot f \cdot 6$

Passaggio 4.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 2 \cdot f \cdot 6 + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Passaggio 4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = f$ e $b = 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{- 9 f - 27}$

Passaggio 5

Scomponi $9$ da $- 9 f - 27$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $9$ da $- 9 f$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) - 27}$

Passaggio 5.2

Scomponi $9$ da $- 27$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) + 9 (- 3)}$

Passaggio 5.3

Scomponi $9$ da $9 (- f) + 9 (- 3)$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f - 3)}$

Passaggio 6

Combina.

$\frac{(f + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $f + 3$ e $- f - 3$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $- 1$ da $f$ .

$\frac{(- 1 (- f) + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- 1 (- f) - 1 (- 3)) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Passaggio 7.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- f) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Passaggio 7.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 1 (f - 3)) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di ${(f - 6)}^{2}$ e $- f + 6$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $f$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 1 (6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Passaggio 8.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- f) - 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f + 6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Passaggio 8.4

Applica la regola del prodotto a $- 1 (- f + 6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) ({(- 1)}^{2} {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Passaggio 8.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (1 {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Passaggio 8.6

Moltiplica ${(- f + 6)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Passaggio 8.7

Scomponi $- f + 6$ da $- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{f^{2} (- f + 6) \cdot 9}$

Passaggio 8.8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.8.1

Scomponi $- f + 6$ da $f^{2} (- f + 6) \cdot 9$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Passaggio 8.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Passaggio 8.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{f^{2} \cdot 9}$

Passaggio 9

Sposta $9$ alla sinistra di $f^{2}$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Passaggio 11

Scomponi $- 1$ da $- f$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) + 6)}{9 f^{2}}$

Passaggio 12

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) - 1 (- 6))}{9 f^{2}}$

Passaggio 13

Scomponi $- 1$ da $- (f) - 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f - 6))}{9 f^{2}}$

Passaggio 14

Riscrivi $- (f - 6)$ come $- 1 (f - 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- 1 (f - 6))}{9 f^{2}}$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Passaggio 16

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Passaggio 17

Moltiplica $\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$ per $1$ .

$\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Passaggio 18

Espandi $(f - 3) (f - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{f (f - 6) - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Passaggio 18.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Passaggio 19

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 19.1.1

Moltiplica $f$ per $f$ .

$\frac{f^{2} + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Passaggio 19.1.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $f$ .

$\frac{f^{2} - 6 \cdot f - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Passaggio 19.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$\frac{f^{2} - 6 f - 3 f + 18}{9 f^{2}}$

Passaggio 19.2

Sottrai $3 f$ da $- 6 f$ .

$\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$

Passaggio 20

Dividi la frazione $\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 21

Dividi la frazione $\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 22

Elimina il fattore comune di $f^{2}$ .

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Passaggio 22.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 22.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 23

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $9$ .

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Passaggio 23.1

Scomponi $9$ da $- 9 f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 23.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 23.2.1

Scomponi $9$ da $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 (f^{2})} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 23.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} + \frac{- f}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 24

Elimina il fattore comune di $f$ e $f^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Scomponi $f$ da $- f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 24.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Scomponi $f$ da $f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 24.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 24.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} + \frac{- 1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Passaggio 26

Elimina il fattore comune di $18$ e $9$ .

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Passaggio 26.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Passaggio 26.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 26.2.1

Scomponi $9$ da $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 (f^{2})}$

Passaggio 26.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Passaggio 26.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{2}{f^{2}}$