Preparazione all'algebra Esempi

${(1 - \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$1 - 4 (\sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.7.2

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.9

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{1} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.10.5

Calcola l'esponente.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3 i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.11

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3 \cdot - 1) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.12

Moltiplica $6 (3 \cdot - 1)$ .

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Passaggio 2.12.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.13

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.14.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.14.2

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.16

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.17

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{27} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.18

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.18.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.18.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.19

Estrai i termini dal radicale.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.20

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.21

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.22

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.23

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.24

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (3 \sqrt{3} i) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.25

Moltiplica $3$ per $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 (\sqrt{3} i) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Passaggio 2.26

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.26.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}$

Passaggio 2.26.2

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Passaggio 2.27

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Passaggio 2.28

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ per $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Passaggio 2.29

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

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Passaggio 2.29.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}$

Passaggio 2.29.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}$

Passaggio 2.29.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{4}{2}} i^{4}$

Passaggio 2.29.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 2.29.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}$

Passaggio 2.29.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.29.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}$

Passaggio 2.29.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}$

Passaggio 2.29.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{1}} i^{4}$

Passaggio 2.29.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{2} i^{4}$

Passaggio 2.30

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 i^{4}$

Passaggio 2.31

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

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Passaggio 2.31.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 {(i^{2})}^{2}$

Passaggio 2.31.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.31.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 \cdot 1$

Passaggio 2.32

Moltiplica $9$ per $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9$

Passaggio 3

Sottrai $18$ da $1$ .

$- 4 \sqrt{3} i - 17 + 12 \sqrt{3} i + 9$

Passaggio 4

Somma $- 4 \sqrt{3} i$ e $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 17 + 9$

Passaggio 5

Somma $- 17$ e $9$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Passaggio 6

Riordina $8 \sqrt{3} i$ e $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$