Preparazione all'algebra Esempi

$- \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$

Passaggio 1.2

Semplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x \cdot 4 + x (- 4 x))$

Passaggio 1.2.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot x + x (- 4 x))$

Passaggio 1.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot x - 4 x \cdot x)$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sposta $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 x - 4 (x \cdot x))$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 x - 4 x^{2})$

Passaggio 1.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$y = \frac{- 1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.2.2

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$y = \frac{- 1}{4} (4 (x)) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - 1 x - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (- 4 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (4 (- x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (4 (- x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - 1 x - 1 (- x^{2})$

Passaggio 1.2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - 1 x + 1 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = - 1 x + x^{2}$

Passaggio 1.2.3.4.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x + x^{2}$

Passaggio 1.2.3.4.4

Riordina $- x$ e $x^{2}$ .

$y = x^{2} - x$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Sottrai $\frac{1}{4}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Fuoco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{1}{2}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Fuoco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1 - (- 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 1$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 1) = 2$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - (- 2)$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 4 - (- 2)$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 4 + 2$

Passaggio 3.5.2

Somma $4$ e $2$ .

$f (- 2) = 6$

Passaggio 3.5.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $6$ .

$y = 6$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2} - (1)$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - (1)$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 1$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 3.8.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{2} - (2)$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 - (2)$

Passaggio 3.11.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = 4 - 2$

Passaggio 3.11.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (2) = 2$

Passaggio 3.11.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Fuoco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{2}$

Direttrice: $y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}$

Passaggio 5