Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ è indefinita.

$x = - 3, x = 5$

Passaggio 2

Poiché $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da sinistra e $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da destra, allora $x = - 3$ è un asintoto verticale.

$x = - 3$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $5$ da sinistra e $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $5$ da destra, allora $x = 5$ è un asintoto verticale.

$x = 5$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 3, 5$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Passaggio 8.1.1.2

Scomponi $3 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Passaggio 8.1.1.3

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ .

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 8.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

Passaggio 8.2

Espandi $3 x^{2} (x + 4)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

Passaggio 8.2.2

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Passaggio 8.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Passaggio 8.2.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

Passaggio 8.3

Espandi $(x - 5) (x + 3)$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.4

Riordina $x$ e $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

Passaggio 8.3.10

Sottrai $5 x$ da $3 x$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

Passaggio 8.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Passaggio 8.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $18 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Passaggio 8.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Passaggio 8.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $18 x^{2} - 36 x - 270$

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Passaggio 8.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

Passaggio 8.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

Passaggio 8.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 3 x + 18$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 3, 5$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 3 x + 18$

Passaggio 10