Preparazione all'algebra Esempi

$2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Completa il quadrato per $y^{2} + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Passaggio 1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.1.3.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.1.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.2

Sostituisci $y^{2} + 4 y$ con ${(y + 2)}^{2} - 4$ nell'equazione $2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 144$

Passaggio 1.3

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 144 + 4$

Passaggio 1.4

Somma $144$ e $4$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 148$

Passaggio 1.5

Dividi per $148$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{2 x^{2}}{148} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = \frac{148}{148}$

Passaggio 1.6

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{74} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 2 \sqrt{37}$

$b = \sqrt{74}$

$k = - 2$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, - 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{37}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{37}}^{2}$ come $37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{37}$ come $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 \cdot 37 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $4$ per $37$ .

$\sqrt{148 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{74}}^{2}$ come $74$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{74}$ come $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{148 - 74^{1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{148 - 1 \cdot 74}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $74$ .

$\sqrt{148 - 74}$

Passaggio 5.3.5.2

Sottrai $74$ da $148$ .

$\sqrt{74}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

Passaggio 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, - 2 - (2 \sqrt{37}))$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Passaggio 6.6

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, - 2 + \sqrt{74})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, - 2 - (\sqrt{74}))$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(0, - 2 - \sqrt{74})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{37}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{37}}^{2}$ come $37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{37}$ come $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $4$ per $37$ .

$\frac{\sqrt{148 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{74}}^{2}$ come $74$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{74}$ come $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{1}}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{148 - 1 \cdot 74}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $74$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.1.7

Sottrai $74$ da $148$ .

$\frac{\sqrt{74}}{2 \sqrt{37}}$

Passaggio 8.3.2

Combina $\sqrt{74}$ e $\sqrt{37}$ in un singolo radicale.

$\frac{\sqrt{\frac{74}{37}}}{2}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $74$ e $37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $37$ da $74$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37}}}{2}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $37$ da $37$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 (1)}}}{2}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 \cdot 1}}}{2}$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10