Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{4 y^{2}}{45} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{45}{4}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{9}{2}$

$b = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}}$

Passaggio 5.3.6.2

Moltiplica $9$ per $5$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}}$

Passaggio 5.3.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}}$

Passaggio 5.3.6.4

Sottrai $45$ da $81$ .

$\sqrt{\frac{36}{4}}$

Passaggio 5.3.6.5

Dividi $36$ per $4$ .

$\sqrt{9}$

Passaggio 5.3.6.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Passaggio 5.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + 3, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(3, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (3), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- 3, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.5.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.6.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.7.2

Moltiplica $9$ per $5$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.7.4

Sottrai $45$ da $81$ .

$\sqrt{\frac{36}{4}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.7.5

Dividi $36$ per $4$ .

$\sqrt{9} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.7.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} \frac{2}{9}$

Passaggio 8.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3 (\frac{2}{9})$

Passaggio 8.3.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 \frac{2}{3 (3)}$

Passaggio 8.3.9.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Eccentricità: $\frac{2}{3}$

Passaggio 10