Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 5 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 5$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(5, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $25$ per $3$ .

$\sqrt{25 + 75}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $25$ e $75$ .

$\sqrt{100}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$10$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(10, 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 2)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(10, 2), (0, 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(15, 2)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 2)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(15, 2), (- 5, 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3}}{5}$

Passaggio 8.3.1.5

Moltiplica $25$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{25 + 75}}{5}$

Passaggio 8.3.1.6

Somma $25$ e $75$ .

$\frac{\sqrt{100}}{5}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{10}{5}$

Passaggio 8.3.2

Dividi $10$ per $5$ .

$2$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{10}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $5$ da $5 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{5 ({\sqrt{3}}^{2})}{10}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Passaggio 9.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 9.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 9.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 9.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3^{1}}{2}$

Passaggio 9.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Passaggio 11.2.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2, y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(5, 2)$

Vertici: $(10, 2), (0, 2)$

Fuochi: $(15, 2), (- 5, 2)$

Eccentricità: $2$

Asse focale: $\frac{3}{2}$

Asintoti: $y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$ , $y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 15