Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 13$

$k = - 2$

$h = 1$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(1, - 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{9 \cdot 3^{1} + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{9 \cdot 3 + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\sqrt{27 + {(13)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Eleva $13$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{27 + 169}$

Passaggio 5.3.3.3

Somma $27$ e $169$ .

$\sqrt{196}$

Passaggio 5.3.3.4

Riscrivi $196$ come $14^{2}$ .

$\sqrt{14^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$14$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(15, - 2)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 13, - 2)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(15, - 2), (- 13, - 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{1} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{27 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.5

Eleva $13$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{27 + 169}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.6

Somma $27$ e $169$ .

$\frac{\sqrt{196}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi $196$ come $14^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{14}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2

Sposta $\sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Passaggio 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Passaggio 8.3.3.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Passaggio 8.3.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 8.3.3.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{13^{2}}{14}$

Passaggio 9.3

Eleva $13$ alla potenza di $2$ .

$\frac{169}{14}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} x + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Passaggio 11.2.3

$\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ e $x$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $\frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

$\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ e $- 1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3} \cdot - 1}{9} - 2$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $13$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{- 13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Passaggio 11.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} x - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Passaggio 12.2.3

$x$ e $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $- \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + 1 \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Passaggio 12.2.4.2

Moltiplica $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ per $1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Passaggio 12.2.5

Sposta $13$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2, y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(1, - 2)$

Vertici: $(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Fuochi: $(15, - 2), (- 13, - 2)$

Eccentricità: $\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Asse focale: $\frac{169}{14}$

Asintoti: $y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$ , $y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Passaggio 15