Preparazione all'algebra Esempi

${(y - 3)}^{2} = 8 (x + 6)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$ .

$8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$

Passaggio 2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x + 6) = {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{8 (x + 6)}{8} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (x + 6)}{8} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $x + 6$ per $1$ .

$x + 6 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

Passaggio 3

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8} - 6$

Passaggio 4

Trova le proprietà della parabola data.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 3)}^{2} - 6$

Passaggio 4.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 6$

$k = 3$

Passaggio 4.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 4.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 6, 3)$

Passaggio 4.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 4.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Passaggio 4.5.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Passaggio 4.5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 2$

Passaggio 4.5.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 4.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 4.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, 3)$

Passaggio 4.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 3$

Passaggio 4.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 4.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 4.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - 8$

Passaggio 4.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 6, 3)$

Fuoco: $(- 4, 3)$

Asse di simmetria: $y = 3$

Direttrice: $x = - 8$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 6, 3)$

Fuoco: $(- 4, 3)$

Asse di simmetria: $y = 3$

Direttrice: $x = - 8$

Passaggio 5

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 5.1

Sostituisci il valore $- 5$ di $x$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ . In questo caso, il punto è $(- 5, 5.82842712)$ .

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Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = 2 \sqrt{2 ((- 5) + 6)} + 3$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Somma $- 5$ e $6$ .

$f (- 5) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 3$

Passaggio 5.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 5) = 2 \sqrt{2} + 3$

Passaggio 5.1.2.2

La risposta finale è $2 \sqrt{2} + 3$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 3$

Passaggio 5.1.3

Converti $2 \sqrt{2} + 3$ in decimale.

$= 5.82842712$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore $- 5$ di $x$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ . In questo caso, il punto è $(- 5, 0.17157287)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = - 2 \sqrt{2 ((- 5) + 6)} + 3$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Somma $- 5$ e $6$ .

$f (- 5) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 3$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 5) = - 2 \sqrt{2} + 3$

Passaggio 5.2.2.2

La risposta finale è $- 2 \sqrt{2} + 3$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 3$

Passaggio 5.2.3

Converti $- 2 \sqrt{2} + 3$ in decimale.

$= 0.17157287$

Passaggio 5.3

Sostituisci il valore $- 4$ di $x$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ . In questo caso, il punto è $(- 4, 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = 2 \sqrt{2 ((- 4) + 6)} + 3$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Somma $- 4$ e $6$ .

$f (- 4) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 3$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 4) = 2 \sqrt{4} + 3$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 4) = 2 \sqrt{2^{2}} + 3$

Passaggio 5.3.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 4) = 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 5.3.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 4) = 4 + 3$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $4$ e $3$ .

$f (- 4) = 7$

Passaggio 5.3.2.3

La risposta finale è $7$ .

$y = 7$

Passaggio 5.3.3

Converti $7$ in decimale.

$= 7$

Passaggio 5.4

Sostituisci il valore $- 4$ di $x$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 6)} + 3$ . In questo caso, il punto è $(- 4, - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = - 2 \sqrt{2 ((- 4) + 6)} + 3$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Somma $- 4$ e $6$ .

$f (- 4) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 3$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 4) = - 2 \sqrt{4} + 3$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 4) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 3$

Passaggio 5.4.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 4) = - 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 5.4.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (- 4) = - 4 + 3$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $- 4$ e $3$ .

$f (- 4) = - 1$

Passaggio 5.4.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 5.4.3

Converti $- 1$ in decimale.

$= - 1$

Passaggio 5.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 3 \\ - 5 & 5.83 \\ - 5 & 0.17 \\ - 4 & 7 \\ - 4 & - 1 \end{array}$

Passaggio 6

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 6, 3)$

Fuoco: $(- 4, 3)$

Asse di simmetria: $y = 3$

Direttrice: $x = - 8$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 3 \\ - 5 & 5.83 \\ - 5 & 0.17 \\ - 4 & 7 \\ - 4 & - 1 \end{array}$

Passaggio 7