Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

Passaggio 5.3.5

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

Passaggio 5.3.6

$16$ e $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $16$ per $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

Passaggio 5.3.8.2

Somma $1296$ e $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ come $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi $1696$ come $4^{2} \cdot 106$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1.1

Scomponi $16$ da $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 5.3.10.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 5.3.10.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 5.3.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

Passaggio 5.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{36}{5}, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{36}{5}, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.6

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.7

$16$ e $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Moltiplica $16$ per $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.9.2

Somma $1296$ e $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ come $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Riscrivi $1696$ come $4^{2} \cdot 106$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1.1

Scomponi $16$ da $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.11.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.11.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.12.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Passaggio 8.3.13.1.2

Scomponi $4$ da $36$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

Passaggio 8.3.13.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

Passaggio 8.3.13.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Passaggio 8.3.13.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Passaggio 8.3.13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

Passaggio 8.3.13.3

$\sqrt{106}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{106}}$ per $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{106}}$ per $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{106}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{106}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{106}}^{2}$ come $106$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{106}$ come $106^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $106$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $106$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

Passaggio 9.3.6.2

Moltiplica $53$ per $5$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

Passaggio 11

Semplifica $\frac{5}{9} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $\frac{5}{9} x$ e $0$ .

$y = \frac{5}{9} x$

Passaggio 11.2

$\frac{5}{9}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{9}$

Passaggio 12

Semplifica $- \frac{5}{9} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- \frac{5}{9} x$ e $0$ .

$y = - \frac{5}{9} x$

Passaggio 12.2

$x$ e $\frac{5}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

Passaggio 12.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{5 x}{9}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Fuochi: $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{106}}{9}$

Asse focale: $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Asintoti: $y = \frac{5 x}{9}$ , $y = - \frac{5 x}{9}$

Passaggio 15