Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{74} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{74} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \sqrt{74}$

$b = 7$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{74})}^{2} - {(7)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi ${\sqrt{74}}^{2}$ come $74$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{74}$ come $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(74^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(7)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{74^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(7)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{74^{\frac{2}{2}} - {(7)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{74^{\frac{2}{2}} - {(7)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{74^{1} - {(7)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{74 - {(7)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{74 - 1 \cdot 49}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $49$ .

$\sqrt{74 - 49}$

Passaggio 5.3.2.3

Sottrai $49$ da $74$ .

$\sqrt{25}$

Passaggio 5.3.2.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \sqrt{74})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, \sqrt{74})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\sqrt{74}))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - \sqrt{74})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{74})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{74})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{74})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{74})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 5)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, 5)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (5))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - 5)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, 5)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 5)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 5)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{74})}^{2} - {(7)}^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt{74}}^{2}$ come $74$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{74}$ come $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(74^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{74^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{74^{\frac{2}{2}} - 7^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{74^{\frac{2}{2}} - 7^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{74^{1} - 7^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{74 - 7^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{74 - 1 \cdot 49}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $49$ .

$\frac{\sqrt{74 - 49}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $49$ da $74$ .

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{74}}$ per $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{74}} \cdot \frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{74}}$ per $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$\frac{5 \sqrt{74}}{\sqrt{74} \sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{74}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{1} \sqrt{74}}$

Passaggio 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{74}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{1} {\sqrt{74}}^{1}}$

Passaggio 8.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{74}}^{2}$ come $74$ .

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Passaggio 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{74}$ come $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{74}}{{(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{74}}{74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{74}}{74^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{74}}{74^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{74}}{74^{1}}$

Passaggio 8.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{74}}{74}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{74})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{74})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 5)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 5)$

Eccentricità: $\frac{5 \sqrt{74}}{74}$

Passaggio 10