Preparazione all'algebra Esempi

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$

Passaggio 1

Scrivi $| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$\frac{2 x - 1}{x} \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.4

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.5

Consolida le soluzioni.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.6

Trova il dominio di $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 1.2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} \geq 0$

Passaggio 1.2.8.1.3

Il lato sinistro di $2.5$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.25$

Passaggio 1.2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0.25$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} \geq 0$

Passaggio 1.2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 1.2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (3) - 1}{3} \geq 0$

Passaggio 1.2.8.3.3

Il lato sinistro di $1.\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Vero

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Vero

Passaggio 1.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$ o $x \geq \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3

Nella parte in cui $\frac{2 x - 1}{x}$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$

Passaggio 1.4

Individua il dominio di $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ e trova l'intersezione con $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova il dominio di $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.4.1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 1.4.2

Trova l'intersezione di $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ e $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$\frac{2 x - 1}{x} < 0$

Passaggio 1.6

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 1.6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6.4

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6.5

Consolida le soluzioni.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6.6

Trova il dominio di $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.6.6.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 1.6.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 1.6.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 0$

Passaggio 1.6.8.1.3

Il lato sinistro di $2.5$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.6.8.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.25$

Passaggio 1.6.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0.25$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} < 0$

Passaggio 1.6.8.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.6.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 1.6.8.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (3) - 1}{3} < 0$

Passaggio 1.6.8.3.3

Il lato sinistro di $1.\overline{6}$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.6.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 1.6.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7

Nella parte in cui $\frac{2 x - 1}{x}$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$

Passaggio 1.8

Individua il dominio di $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ e trova l'intersezione con $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Trova il dominio di $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.8.1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 1.8.2

Trova l'intersezione di $0 < x < \frac{1}{2}$ e $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{2}$

Passaggio 1.9

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x} < 2 & x < 0 or x \geq \frac{1}{2} \\ - \frac{2 x - 1}{x} < 2 & 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Passaggio 2

Risolvi $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ dove $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $\frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Passaggio 2.1.2.2

$- 2$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Passaggio 2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{x} < 0$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{x} < 0$

Passaggio 2.1.2.4.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{x} < 0$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x} < 0$

Passaggio 2.1.3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

Passaggio 2.1.4

Trova il dominio di $- \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 2.1.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > 0$

Passaggio 2.2

Trova l'intersezione di $x > 0$ e $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Risolvi $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ dove $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $- \frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.2

$- 2$ e $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (2 x - 1) - 2 x}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (2 x) - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x + 1 - 2 x}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.4.4

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 1}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.5

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 1}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.6

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.7

Scomponi $- 1$ da $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x - 1)}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.8

Riscrivi $- (4 x - 1)$ come $- 1 (4 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 1)}{x} < 0$

Passaggio 3.1.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x - 1}{x} < 0$

Passaggio 3.1.3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Passaggio 3.1.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 3.1.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.7

Consolida le soluzioni.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.8

Trova il dominio di $- \frac{4 x - 1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 x - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 3.1.8.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 3.1.9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 3.1.10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 2$

Passaggio 3.1.10.1.3

Il lato sinistro di $- 2.5$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.1.10.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.12$

Passaggio 3.1.10.2.2

Sostituisci $x$ con $0.12$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{2 (0.12) - 1}{0.12} < 2$

Passaggio 3.1.10.2.3

Il lato sinistro di $6.\overline{3}$ non è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.1.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 3.1.10.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{2 (3) - 1}{3} < 2$

Passaggio 3.1.10.3.3

Il lato sinistro di $- 1.\overline{6}$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.1.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Vero

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Vero

Passaggio 3.1.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$ o $x > \frac{1}{4}$

Passaggio 3.2

Trova l'intersezione di $x < 0 or x > \frac{1}{4}$ e $0 < x < \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Trova l'unione delle soluzioni.

$x > \frac{1}{4}$

Passaggio 5

Trova il dominio di $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 5.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > \frac{1}{4}$

Passaggio 7