Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ è indefinita.

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 2

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ è un'equazione di una linea; ciò significa che non ci sono asintoti orizzontali.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 3

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 1^{2}}{2 y - 3}$

Passaggio 3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{2 y - 3}$

Passaggio 3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2

Espandi ${(y - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi ${(y - 1)}^{2}$ come $(y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{(y - 1) (y - 1)}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.5

Riordina $y$ e $- 1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.2.11

Sottrai $1 y$ da $- 1 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Passaggio 3.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 y$

$3$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Passaggio 3.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 y$ .

					$\frac{y}{2}$
	$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

Passaggio 3.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$\frac{3 y}{2}$

Passaggio 3.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{2} - \frac{3 y}{2}$

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$

Passaggio 3.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$

Passaggio 3.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Passaggio 3.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{y}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 y$ .

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Passaggio 3.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$\frac{3}{4}$

Passaggio 3.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$

Passaggio 3.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Passaggio 3.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{y}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 y - 3)}$

Passaggio 3.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $y = \frac{3}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5