Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ è indefinita.

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 2

Poiché $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da sinistra e $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da destra, allora $x = - 3$ è un asintoto verticale.

$x = - 3$

Passaggio 3

Poiché $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $3$ da sinistra e $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $3$ da destra, allora $x = 3$ è un asintoto verticale.

$x = 3$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 3, 3$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 8.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.6

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.9

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.13

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.14

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.16

Sposta $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.17

Sottrai $1 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.18

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.19

Sottrai $1 x$ da $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.20

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.3

Espandi $(x + 3) (x - 3)$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 1}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.4

Riordina $x$ e $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - 1}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Passaggio 8.3.10

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 0 - 9}$

Passaggio 8.3.11

Sottrai $9$ da $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - 9 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Passaggio 8.9

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$1$

Passaggio 8.10

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + \frac{9 x - 1}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.11

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 3, 3$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x$

Passaggio 10