Preparazione all'algebra Esempi

$(y + 6) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi.

$y + 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot ((x - 2) (x - 2))$

Passaggio 1.1.3

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 1.1.4.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 1.1.4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 4 x + 4)$

Passaggio 1.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot 4$

Passaggio 1.1.6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

Passaggio 1.1.6.3.2

Elimina il fattore comune.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Passaggio 1.1.6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2$

Passaggio 1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 - 6$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $6$ da $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 4$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - 4 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $4$ per $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Dividi $4$ per $2$ .

$e = - 4 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e = - 4 - 2$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$e = - 6$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 6$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 6$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(2, - 6)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

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Passaggio 2.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, - \frac{11}{2})$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 2$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{13}{2}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(2, - 6)$

Fuoco: $(2, - \frac{11}{2})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = - \frac{13}{2}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(2, - 6)$

Fuoco: $(2, - \frac{11}{2})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = - \frac{13}{2}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (0) = - 4$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 - 4$

Passaggio 3.5.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - 4$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4$

Passaggio 3.5.2.4

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.5.2.6

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 8}{2}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Passaggio 3.5.5.2

Sottrai $8$ da $- 3$ .

$f (1) = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 3.5.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{11}{2}$

Passaggio 3.5.6

La risposta finale è $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = \frac{16}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Passaggio 3.8.1.2

Dividi $16$ per $2$ .

$f (4) = 8 - 2 \cdot 4 - 4$

Passaggio 3.8.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (4) = 8 - 8 - 4$

Passaggio 3.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (4) = 0 - 4$

Passaggio 3.8.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (4) = - 4$

Passaggio 3.8.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = 4$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Passaggio 3.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 6 - 4$

Passaggio 3.11.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} - 4$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Passaggio 3.11.2.3

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - 4$

Passaggio 3.11.2.4

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Passaggio 3.11.2.5

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.11.2.6

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{9 - 6 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.4.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 8}{2}$

Passaggio 3.11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1

Sottrai $12$ da $9$ .

$f (3) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Passaggio 3.11.5.2

Sottrai $8$ da $- 3$ .

$f (3) = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 3.11.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (3) = - \frac{11}{2}$

Passaggio 3.11.6

La risposta finale è $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = 3$ è $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(2, - 6)$

Fuoco: $(2, - \frac{11}{2})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Passaggio 5