Preparazione all'algebra Esempi

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $2^{X + 3}$ come $2^{X} \cdot 2^{3}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $4^{X + 1}$ come $4^{X} \cdot 4^{1}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $2^{X}$ come ${(2^{2})}^{X}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Passaggio 1.4

Riscrivi ${(2^{2})}^{X}$ come ${(2^{X})}^{2}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Passaggio 1.5

Sia $u = 2^{X}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $2^{X}$ con $u$ .

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Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Passaggio 1.5.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u$ .

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Passaggio 1.5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

Passaggio 1.6

Scomponi $4$ da $8 u + 4 u^{2} - 320$ .

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Passaggio 1.6.1

Scomponi $4$ da $8 u$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

Passaggio 1.6.2

Scomponi $4$ da $4 u^{2}$ .

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

Passaggio 1.6.3

Scomponi $4$ da $- 320$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

Passaggio 1.6.4

Scomponi $4$ da $4 (2 u) + 4 u^{2}$ .

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

Passaggio 1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

Passaggio 1.7

Scomponi.

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Passaggio 1.7.1

Scomponi $2 u + u^{2} - 80$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 80$ e la cui somma è $2$ .

$- 8, 10$

Passaggio 1.7.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Passaggio 1.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Passaggio 1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2^{X}$ .

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

Passaggio 3

Imposta $2^{X} - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $X$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $2^{X} - 8$ uguale a $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $2^{X} - 8 = 0$ per $X$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2^{X} = 8$

Passaggio 3.2.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{X} = 2^{3}$

Passaggio 3.2.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$X = 3$

Passaggio 4

Imposta $2^{X} + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $X$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2^{X} + 10$ uguale a $0$ .

$2^{X} + 10 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2^{X} + 10 = 0$ per $X$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2^{X} = - 10$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

Passaggio 4.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 10)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2.4

Non c'è soluzione per $2^{X} = - 10$

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ vera.

$X = 3$