Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $125$ come $5^{3}$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 5^{3}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})}$

Passaggio 1.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 5, x^{2} + 5 x + 25, (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x - 5$ è $x - 5$ stesso.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x^{2} + 5 x + 25$ è $x^{2} + 5 x + 25$ stesso.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x - 5$ è $x - 5$ stesso.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $x^{2} + 5 x + 25$ è $x^{2} + 5 x + 25$ stesso.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $x - 5, x^{2} + 5 x + 25, x - 5, x^{2} + 5 x + 25$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ ciascun termine in $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ per $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 x (x^{2} + 5 x + 25) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x \cdot x^{2} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{2 + 1} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$6 x^{3} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.3.3

Moltiplica $25$ per $6$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1.1

Sposta $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x) + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 5 x + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25}$ nel numeratore.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Scomponi $x^{2} + 5 x + 25$ da $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 (x - 5) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x - 300 \cdot - 5 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $- 300$ per $- 5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $300 x$ da $150 x$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = 2250$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $2250$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 - 2250 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $2250$ da $1500$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $6$ da $6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{3}$ .

$6 (x^{3}) + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Scomponi $6$ da $30 x^{2}$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) - 150 x - 750 = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Scomponi $6$ da $- 150 x$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) - 750 = 0$

Passaggio 4.3.1.4

Scomponi $6$ da $- 750$ .

$6 x^{3} + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Passaggio 4.3.1.5

Scomponi $6$ da $6 x^{3} + 6 (5 x^{2})$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Passaggio 4.3.1.6

Scomponi $6$ da $6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x)$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Passaggio 4.3.1.7

Scomponi $6$ da $6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125) = 0$

Passaggio 4.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$6 ((x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125) = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$6 (x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5)) = 0$

Passaggio 4.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 5$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Passaggio 4.3.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$6 ((x + 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Passaggio 4.3.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 4.3.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1.1

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 4.3.6.1.2

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 4.3.6.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5)) = 0$

Passaggio 4.3.6.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$6 ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) = 0$

Passaggio 4.3.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi ${(x + 5)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Poni $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.5.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 4.6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ vera.

$x = - 5, 5$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$ vera.

$x = - 5$