Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = - 2 {(x - 5)}^{2} + 4$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = 5$

$k = 4$

Passaggio 1.2

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(5, 4)$

Passaggio 1.4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(5, \frac{31}{8})$

Passaggio 1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 5$

Passaggio 1.7

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{33}{8}$

Passaggio 1.8

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(5, 4)$

Fuoco: $(5, \frac{31}{8})$

Asse di simmetria: $x = 5$

Direttrice: $y = \frac{33}{8}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(5, 4)$

Fuoco: $(5, \frac{31}{8})$

Asse di simmetria: $x = 5$

Direttrice: $y = \frac{33}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - 2 {(4)}^{2} + 20 (4) - 46$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = - 2 \cdot 16 + 20 (4) - 46$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f (4) = - 32 + 20 (4) - 46$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $20$ per $4$ .

$f (4) = - 32 + 80 - 46$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 32$ e $80$ .

$f (4) = 48 - 46$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $46$ da $48$ .

$f (4) = 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 4$ è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 20 (3) - 46$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 20 (3) - 46$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$f (3) = - 18 + 20 (3) - 46$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $20$ per $3$ .

$f (3) = - 18 + 60 - 46$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $- 18$ e $60$ .

$f (3) = 42 - 46$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $46$ da $42$ .

$f (3) = - 4$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 3$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 20 (6) - 46$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 20 (6) - 46$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $36$ .

$f (6) = - 72 + 20 (6) - 46$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $20$ per $6$ .

$f (6) = - 72 + 120 - 46$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Somma $- 72$ e $120$ .

$f (6) = 48 - 46$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $46$ da $48$ .

$f (6) = 2$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 6$ è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = - 2 {(7)}^{2} + 20 (7) - 46$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (7) = - 2 \cdot 49 + 20 (7) - 46$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $49$ .

$f (7) = - 98 + 20 (7) - 46$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $20$ per $7$ .

$f (7) = - 98 + 140 - 46$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Somma $- 98$ e $140$ .

$f (7) = 42 - 46$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $46$ da $42$ .

$f (7) = - 4$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 7$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 4 \\ 4 & 2 \\ 5 & 4 \\ 6 & 2 \\ 7 & - 4 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(5, 4)$

Fuoco: $(5, \frac{31}{8})$

Asse di simmetria: $x = 5$

Direttrice: $y = \frac{33}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 4 \\ 4 & 2 \\ 5 & 4 \\ 6 & 2 \\ 7 & - 4 \end{array}$

Passaggio 4