Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 4$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = 1$

$k = - 4$

Passaggio 1.2

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Passaggio 1.4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, - \frac{31}{8})$

Passaggio 1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 1$

Passaggio 1.7

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{33}{8}$

Passaggio 1.8

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - \frac{31}{8})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{33}{8}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - \frac{31}{8})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{33}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 2$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 2$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 1) = 2 - 4 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 4 - 2$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $2$ e $4$ .

$f (- 1) = 6 - 2$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$f (- 1) = 4$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.8.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.8.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (2) = 2^{3} - 4 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.8.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 8 - 4 \cdot 2 - 2$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (2) = 8 - 8 - 2$

Passaggio 2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (2) = 0 - 2$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (2) = - 2$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 2$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 2$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f (3) = 18 - 4 \cdot 3 - 2$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f (3) = 18 - 12 - 2$

Passaggio 2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai $12$ da $18$ .

$f (3) = 6 - 2$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$f (3) = 4$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 3$ è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - \frac{31}{8})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{33}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

Passaggio 4