Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = 2.3 x {(0.47)}^{x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $2.3 x \cdot {0.47}^{x}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} 2.3 x \cdot {0.47}^{x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $2.3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} x \cdot {0.47}^{x}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $x \cdot {0.47}^{x}$ come $\frac{x}{{0.47}^{- x}}$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{0.47}^{- x}}$

Passaggio 3.3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2.3 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} {0.47}^{- x}}$

Passaggio 3.3.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$2.3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} {0.47}^{- x}}$

Passaggio 3.3.1.3

Poiché l'esponente $- x$ tende a $- \infty$ , la quantità ${0.47}^{- x}$ tende a $\infty$ .

$2.3 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2.3 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{0.47}^{- x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [{0.47}^{- x}]}$

Passaggio 3.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [{0.47}^{- x}]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{0.47}^{- x}]}$

Passaggio 3.3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = {0.47}^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [{0.47}^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $0.47$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{u} \ln (0.47) \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.3.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \cdot - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.3.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${0.47}^{- x} \ln (0.47)$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 \cdot {0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

Passaggio 3.3.3.8

Riscrivi $- 1 \cdot {0.47}^{- x}$ come $- {0.47}^{- x}$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- {0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- {0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

Passaggio 3.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2.3 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

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Passaggio 3.4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2.3 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

Passaggio 3.4.2

Sposta il termine $\frac{1}{\ln (0.47)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2.3 \cdot - 1 \frac{1}{\ln (0.47)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{{0.47}^{- x}}$ tende a $0$ .

$2.3 \cdot - 1 \frac{1}{\ln (0.47)} \cdot 0$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- \frac{1}{\ln (0.47)} \cdot 0$ .

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$2.3 \cdot 0 \frac{1}{\ln (0.47)}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{\ln (0.47)}$ .

$2.3 \cdot 0$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2.3$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7