Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2}$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.2

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Passaggio 1.4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Passaggio 1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.7

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{9}{4}$

Passaggio 1.8

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{2}$

Direttrice: $y = \frac{9}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{2}$

Direttrice: $y = \frac{9}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} - 3 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} - 3 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.2.4

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{4 - 3 \cdot 4 + 19}{4}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (1) = \frac{4 - 12 + 19}{4}$

Passaggio 2.2.4.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$f (1) = \frac{- 8 + 19}{4}$

Passaggio 2.2.4.3

Somma $- 8$ e $19$ .

$f (1) = \frac{11}{4}$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è $\frac{11}{4}$ .

$\frac{11}{4}$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 1$ è $\frac{11}{4}$ .

$y = \frac{11}{4}$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $0$ e $\frac{19}{4}$ .

$f (0) = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 0$ è $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 9 - 3 \cdot 3 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (3) = 9 - 9 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scrivi $9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (3) = \frac{9}{1} - 9 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.2.2

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.2.3

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.2.4

Scrivi $- 9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.2.5

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.2.6

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{9 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 19}{4}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$f (3) = \frac{36 - 9 \cdot 4 + 19}{4}$

Passaggio 2.8.4.2

Moltiplica $- 9$ per $4$ .

$f (3) = \frac{36 - 36 + 19}{4}$

Passaggio 2.8.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Sottrai $36$ da $36$ .

$f (3) = \frac{0 + 19}{4}$

Passaggio 2.8.5.2

Somma $0$ e $19$ .

$f (3) = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.8.6

La risposta finale è $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 3$ è $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 16 - 3 \cdot 4 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (4) = 16 - 12 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Scrivi $16$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = \frac{16}{1} - 12 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.2.2

Moltiplica $\frac{16}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4} - 12 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.2.3

Moltiplica $\frac{16}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} - 12 + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.2.4

Scrivi $- 12$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.2.5

Moltiplica $\frac{- 12}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.2.6

Moltiplica $\frac{- 12}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{16 \cdot 4 - 12 \cdot 4 + 19}{4}$

Passaggio 2.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Moltiplica $16$ per $4$ .

$f (4) = \frac{64 - 12 \cdot 4 + 19}{4}$

Passaggio 2.11.4.2

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$f (4) = \frac{64 - 48 + 19}{4}$

Passaggio 2.11.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1

Sottrai $48$ da $64$ .

$f (4) = \frac{16 + 19}{4}$

Passaggio 2.11.5.2

Somma $16$ e $19$ .

$f (4) = \frac{35}{4}$

Passaggio 2.11.6

La risposta finale è $\frac{35}{4}$ .

$\frac{35}{4}$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 4$ è $\frac{35}{4}$ .

$y = \frac{35}{4}$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{19}{4} \\ 1 & \frac{11}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 3 & \frac{19}{4} \\ 4 & \frac{35}{4} \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Fuoco: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{2}$

Direttrice: $y = \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{19}{4} \\ 1 & \frac{11}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 3 & \frac{19}{4} \\ 4 & \frac{35}{4} \end{array}$

Passaggio 4