Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.3.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.3.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.2.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Passaggio 1.3.2.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.3.4.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.3.5

Sottrai $\frac{1}{x}$ da $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Passaggio 1.3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Passaggio 1.3.2.5

Combina i fattori.

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Passaggio 1.3.2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Passaggio 1.3.2.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Passaggio 1.3.2.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Passaggio 1.3.2.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Passaggio 1.3.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 1.3.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 1$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 1.3.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 1.3.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 0$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.1.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Passaggio 2.2.1.3

Somma $1$ e $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Passaggio 2.2.2.3

Dividi $2$ per $1$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.3

Converti $2$ in decimale.

$y = 2$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2$ da ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Passaggio 3.2.2

La risposta finale è $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Passaggio 3.3

Converti $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ in decimale.

$y = 0.1534264$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ in decimale.

$y = - 0.02191384$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Passaggio 6