Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = | x | + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ in modo che una lista di valori $x$ possa essere scelta per trovare una lista di punti, che aiuterà nel realizzare una rappresentazione grafica della funzione del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2

Per ogni valore $x$ c'è un valore $y$ . Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del vertice del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, \frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = | - 2 | + \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 2) = 2 - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 1}{2}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (- 2) = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.1.2.6

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = | - 1 | + \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.3

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . In questo caso, il punto è $(1, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = | 1 | + \frac{1}{1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{1}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $1$ per $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 2.3.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ . In questo caso, il punto è $(2, \frac{5}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = | 2 | + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = \frac{4 + 1}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$f (2) = \frac{5}{2}$

Passaggio 2.4.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Passaggio 2.5

Il valore assoluto può essere rappresentato graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 2, 1.5), (- 1, 0), (1, 2), (2, 2.5)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.5 \\ - 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2.5 \end{array}$

Passaggio 3