Preparazione all'algebra Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{6 x - 4}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x - 2)}$ è indefinita.

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $6 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) - 4}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x - 2)}$

Passaggio 5.2

Espandi $2 (3 x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{2 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{6 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 5}{6 x - 4}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$6 x$

$4$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $6 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$2 x^{2}$	-	$\frac{4 x}{3}$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - \frac{4 x}{3}$

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x}{3}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $\frac{4 x}{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $6 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					+	$\frac{4 x}{3}$	-	$\frac{8}{9}$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $\frac{4 x}{3} - \frac{8}{9}$

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					-	$\frac{4 x}{3}$	+	$\frac{8}{9}$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{9}$
$6 x$	-	$4$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$2 x^{2}$	+	$\frac{4 x}{3}$
					+	$\frac{4 x}{3}$	+	$5$
					-	$\frac{4 x}{3}$	+	$\frac{8}{9}$
							+	$\frac{53}{9}$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{9} + \frac{53}{9 (6 x - 4)}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{9}$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = \frac{2}{3}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{9}$

Passaggio 7